Pentru a putea depasi aceasta dificultate, matematicienii au inventat dimensiunile fractale. Cuvantul fractal provine din cuvantul fractional.
Un fractal este “o figura geometrica fragmentata sau franta care poate fi divizata in parti, astfel incat fiecare dintre acestea sa fie (cel putin aproximativ) o copie miniaturala a intregului”. Dimensiunea fractala a curbei lui Koch e de 1.26. O dimensiune fractionala e imposibil de perceput, dar are sens. In comparatie cu cu o simpla linie sau curba, care au o singura dimensiune, curba Koch e bruta si incretita. De aceea ea ocupa spatiu mai usor, dar nu il poate umple asemenea unui patrat cu doua dimensiuni, deoarece nu are arie. Prin urmare dimensiunea curbei Koch e undeva intre cele doua. Termenul de fractal a ajuns sa descrie orice imagine care prezinta atributul de auto-similaritate.
Mai tarziu, un cercetator pe nume Feigenbaum studia bifurcatiile unei diagrame si incerca sa isi dea seama cat de repede apar acele bifurcatii. A reusit sa isi de-a seama ca au au o viteza de aparitie constanta. El a calculat-o la 4.669. cu alte cuvinte, a descoperit scara la care diagrama devenea auto-similara. Daca se micsora diagrama de 4.669 ori, ea ar fi aratat ca una din regiunile bifurcatiei. A decis sa studieze si celelalte ecuatii cautand un factor de scalare a lor. Spre surpriza sa, factorul de scalare era acelasi. Nu numai ca aceasta ecuatie complicata dadea dovada de regularitate, dar regularitatea era identica cu cea a unei ecuatii mult mai simple. Aceasta era o descoperire revolutionara. El a descoperit ca o intreaga clasa de functii matematice se comportau in acelasi fel. Aceasta universalitate putea sa ii ajute pe alti cercetatori care studiau ecuatiile haotice. Universalitatea oferise cercetatorilor unealta necesata pentru a studia sistemele haotice. Acum ei puteau utiliza o simpla ecuatie pentru a afla rezultatul unei ecuatii mai complexe. Structurile fractale au fost observate si in alte locuri in afara mintii unui matematician. Vasele de sange care se ramnifica, ramurile unui copac, structura interna a plamanilor, graficele dela bursa, etc. Toate acestea au un singur lucru in comun: auto-similaritatea.
Problematica armonicelor
Fractali in stiinta
Fractalul este "o figura geometrica fragmentata sau frânta care poate fi divizata în parti, astfel încât fiecare dintre acestea sa fie (cel putin aproximativ) o copie miniaturala a întregului". Termenul a fost introdus de Benoît Mandelbrot în 1975 si este derivat din latinescul fractus, însemnând "spart" sau "fracturat".
Fractalul, ca obiect geometric, are în general urmatoarele caracteristici:
· Are o structura fina la scari arbitrar de mici.
· Este prea neregulat pentru a fi descris în limbaj geometric euclidian traditional.
· Este autosimilar (macar aproximativ sau stocastic).
· Are dimensiunea Hausdorff mai mare decât dimensiunea topologica (desi aceasta cerinta nu este îndeplinita de curbele Hilbert).
· Are o definitie simpla si recursiva.
Deoarece par identici la orice nivel de magnificare, fractalii sunt de obicei considerati ca fiind infinit complecsi (în termeni informali). Printre obiectele naturale care aproximeaza fractalii pâna la un anumit nivel se numara norii, lanturile montane, arcele de fulger, liniile de coasta si fulgii de zapada. Totusi, nu toate obiectele autosimilare sunt fractali—de exemplu, linia reala (o linie dreapta Euclidiana) este autosimilara, dar nu îndeplineste celelalte caracteristici.
Fractalul, ca obiect geometric, are în general urmatoarele caracteristici:
· Are o structura fina la scari arbitrar de mici.
· Este prea neregulat pentru a fi descris în limbaj geometric euclidian traditional.
· Este autosimilar (macar aproximativ sau stocastic).
· Are dimensiunea Hausdorff mai mare decât dimensiunea topologica (desi aceasta cerinta nu este îndeplinita de curbele Hilbert).
· Are o definitie simpla si recursiva.
Deoarece par identici la orice nivel de magnificare, fractalii sunt de obicei considerati ca fiind infinit complecsi (în termeni informali). Printre obiectele naturale care aproximeaza fractalii pâna la un anumit nivel se numara norii, lanturile montane, arcele de fulger, liniile de coasta si fulgii de zapada. Totusi, nu toate obiectele autosimilare sunt fractali—de exemplu, linia reala (o linie dreapta Euclidiana) este autosimilara, dar nu îndeplineste celelalte caracteristici.
Fractali in natura
O zicala a lui Haegel poate fi adusa si in forma fractala a plantelor.
“Ontogeneza repeta filogeneza”
In particular, cand o planta creste, fiecare frunza urmareste forma intregului copac. Acest principiu poate explicat si prin faptul ca fiecare lucru din natura incearca sa ajunga la un echilibru energetic, si mai mult la un echilibru informational.
Desi varietate formelor este mare, intotdeauna exista un pattern. Acest pattern este strans legat de functionalitatea unui lucru.
In natura intalnim atat forme fractalice cat si forme nefractalice.
Dar formele fractalice intalnite in natura respecta cu siguranta una definiitile cele mai simple ale fractalilor: aceea ca fractalii sunt acele obiecte ce isi pastreaza forma de baza sub diferite grade de marire, deci acele obiecte ce isi pastreaza simetrie peste scalare. (proprietate numita in engleza self-similarity)
Iata aici 2 obiecte des intalnite in natura: o linie de coasta si un om
Se stie clar ca una dintre obiectele fractalice clasice sunt liniile de coasta.Daca marim si iar marim o zona a liniei de coasta obtinem forme similare.
Pe de alta parte un om nu reprezinta o forma fractala, in plus raportul dintre dimensiunile partilor nu se pastreaza constant, cum este cazul la amoniti sau feriga. Asta inca o data, dupa parerea mea, datorita legii lui Haegel, deci la scara mare, si omul este o fiinta fractala.
Dar anumite parti ale omului clar sunt obiecte fractale: plamanii, creierul, parul si sistemele circulator, nervos etc. O analiza fractala a devzvoltarii acestor organe cat si a dezvoltarii tumorilor este utila si chiar se face.
Revenind la problematica patternurilor, toate formele intalnite in natura respecta aceste patternuri caracteristice unor familii mult mai bogate. Aceasta problematica este foarte utila in algoritmii de recunoastere a formelor.
Aceasta abordare pe patternuri vine de la Wentworth d’Arcy Thomson. Faptul ca aceste griduri pot suferi tot felul de modificari, pentru a satisface varietatea naturii dau multe dificultati algoritmilor si programelor ce au ca scop recunoasterea formelor.
Fractali in arta
Aceasta lege a octavei se bazeaza pe numarul 8. Acest numar 8 care inchide un ciclu de 7. Practic cel de-al optulea element inchide un ciclu.
Acest numar 8 privit ca 23 este un numar foarte important nu intamplator calculatoarele lucreaza in baza 2 cu acest elemement unitate care este cuvantul pe 8 biti.
Teoria stringurilor reprezinta un model ce spune ca la baza fiecarui lucru se afla aceste stringuri care efectiv vibreaza si creeaza natura fiecarui lucru inconjurator, unda, electron, corp etc. In ansamblu aceasta teorie ne spune ca tot universul este alcatuit din vibratii. Aceste vibratii au loc in toate tipurile de materie de la cea mai subtila pana la cea mai grosiera. Ele provin de la surse variate, si prin cele 11 dimensiuni ale acestui model, ele merg in toate directiile, incrucisandu-se, ciocnindu-se, amplificandu-se, diminandu-se una pe cealalta si asa mai departe.
Din punct de vedere al formei si vibratiei aceste stringuri pot fi inchise sau libere:
Acest numar 8 privit ca 23 este un numar foarte important nu intamplator calculatoarele lucreaza in baza 2 cu acest elemement unitate care este cuvantul pe 8 biti.
Teoria stringurilor reprezinta un model ce spune ca la baza fiecarui lucru se afla aceste stringuri care efectiv vibreaza si creeaza natura fiecarui lucru inconjurator, unda, electron, corp etc. In ansamblu aceasta teorie ne spune ca tot universul este alcatuit din vibratii. Aceste vibratii au loc in toate tipurile de materie de la cea mai subtila pana la cea mai grosiera. Ele provin de la surse variate, si prin cele 11 dimensiuni ale acestui model, ele merg in toate directiile, incrucisandu-se, ciocnindu-se, amplificandu-se, diminandu-se una pe cealalta si asa mai departe.
Din punct de vedere al formei si vibratiei aceste stringuri pot fi inchise sau libere:
Un principiu important al acestor vibratii il reprezinta aceasta discontinuitate a dezvoltarii lor. Universul nostru fiind continuu suntem obisnuiti sa vedem acest principiu al discontinuitatii si al salturilor strans legat de aceasta lume a hazardului.
Desi, lumea calculatoarelor, este o lume a sistemelor discrete, noi totusi, simtindu-ne foarte confortabil in aceasta lume a continuitatii, dorim si cautam programele si comportamentele deterministe. Astfel putem afirma ca determinismul si predictibilitatea comportarii unui sistem sunt strans legate de un principiu al continuitatii.
Apare aici un principiu al discontinuitatii vibratiilor ce ne spune ca o caracteristica bine definita a tuturor vibratiilor din natura, fie ele ascendente sau descendente, este aceea ca ele se dezvolta neuniform, cu perioade de accelerare si perioade de incetinire.
Extrapoland, acest lucru se observa si in testarea sistemelor ingineresti. Chiar atunci cand o masina, folosind un algoritm anume, rezolva o suita de instructiuni, timpii petrecuti pe fiecare sunt total diferiti, practic masina pare ca in anumite locuri se ‘impotmoleste’ si in alte locuri trece cu o viteza de neasteptat.
Apare aici un principiu al discontinuitatii vibratiilor ce ne spune ca o caracteristica bine definita a tuturor vibratiilor din natura, fie ele ascendente sau descendente, este aceea ca ele se dezvolta neuniform, cu perioade de accelerare si perioade de incetinire.
Extrapoland, acest lucru se observa si in testarea sistemelor ingineresti. Chiar atunci cand o masina, folosind un algoritm anume, rezolva o suita de instructiuni, timpii petrecuti pe fiecare sunt total diferiti, practic masina pare ca in anumite locuri se ‘impotmoleste’ si in alte locuri trece cu o viteza de neasteptat.
Principiul acesta este des intalnit in lumea calculatoarelor, a echipamentelor electronice si, bineinteles, in viata de zi cu zi. Anumite taskuri iau mai mult timp pe cand altele pur si simplu par ca se blocheaza.
Dar, revenind la principiul octavei aplicat vibratiilor in general se observa ca vibratiile nu au un comportament constant practic dupa impulsul initial aceste vibratii au o perioada de incetinire apoi iar una de accelerare a vibratiei si inca o perioada de incetinire.
Dar, revenind la principiul octavei aplicat vibratiilor in general se observa ca vibratiile nu au un comportament constant practic dupa impulsul initial aceste vibratii au o perioada de incetinire apoi iar una de accelerare a vibratiei si inca o perioada de incetinire.
Pentru a vizualiza acest principiu ne putem imagina compunerea unei vibratii simple cu o sinusoida. Daca luam in calcul impulsul initial deci, practic energia pe perioada de inceput a vibratiei fiind mai mare, observam ca influenta sinusoidei va fi mai mica:
Pentru a determina aceste perioade de incetinire se divizeaza liniile dezvlotarii vibratiilor in sectiuni corespunzand dublului sau jumatatii numarului de vibratii intr-un interval de timp dat.
Daca ne imaginam o linie de vibratii crescatoare, fie momentul t0 momentul de inceput in care frecventa este de 1000 si momentul t1 momentul in care frecventa se dubleaza la valoare de 2000. Vom avea:
Daca ne imaginam o linie de vibratii crescatoare, fie momentul t0 momentul de inceput in care frecventa este de 1000 si momentul t1 momentul in care frecventa se dubleaza la valoare de 2000. Vom avea:
In acest interval de timp exista doua momente in care se produce o incetinire in progresia vibratiilor. Una este la mai mica distanta de punctul de plecare, alta aproape de sfarsit.
Aceasta lege a octavei consta in a diviza perioada in care aceste vibratii isi dubleaza frecventa in 8 trepte inegale, corespunzand ratiei progresiei vibratiilor. Aceasta perioada este numita octava sau serie de opt.
Principiul divizarii in opt intervale inegale a procesului la capatul caruia vibratiile sunt duble este bazat pe studiul progresiilor neuniforme ale vibratiilor in octava intreaga si diversele trepte ale octavei arata acceleratia si incetinirea dezvoltarii sale, in diferite momente.
Aplicand acest principiu in muzica, a fost obtinuta gama muzicala pe sapte tonuri.
Principiul divizarii in opt intervale inegale a procesului la capatul caruia vibratiile sunt duble este bazat pe studiul progresiilor neuniforme ale vibratiilor in octava intreaga si diversele trepte ale octavei arata acceleratia si incetinirea dezvoltarii sale, in diferite momente.
Aplicand acest principiu in muzica, a fost obtinuta gama muzicala pe sapte tonuri.
Un studiu al structurii gamei muzicale ofera o baza excelenta pentru exemplificarea acestei legi.
Raportul de inaltime al diferitelor note sau a frecventei lor de vibratie este dupa cum urmeaza:
Do are valoare 1
Re va avea 9/8
Mi … 5/4
Fa … 4/3
Sol … 3/2
La … 5/3
Si … 15/8
Do … 2
Re va avea 9/8
Mi … 5/4
Fa … 4/3
Sol … 3/2
La … 5/3
Si … 15/8
Do … 2
Bineinteles ca toate instrumentele vor respecta aceasta legea a octavei. Si cele cu coarde o vor respecta chiar in ceea ce priveste constructia lor. De exemplu distanta intre punctul pe o coarda in care se gaseste armonica Mi si cea unde se gaseste armonica care ne da cvinta, aici Si (transpunem astfel sistemul Do cu cvinta sa Sol) este exact, pentru ghitara, 325 cm respectiv 215 cm de la baza coardei , se respecta aproape perfect 324/215 este aproximativ 3/2.
Se observa ca daca Do fata de Re se afla sub raportul 9/8, Re fata de Mi sub raportul 10/9, Mi fata de Fa si Si fata de Do se afla sub raportul de 16/15, deci progresie incetinita.
Se observa ca daca Do fata de Re se afla sub raportul 9/8, Re fata de Mi sub raportul 10/9, Mi fata de Fa si Si fata de Do se afla sub raportul de 16/15, deci progresie incetinita.
Astfel, modelul acesta al octavei se afla strans legat cu o armonie universala. Din concluziile la care am ajuns analizand vibratiile haotice ale sistemelor naturale (de exemplu bataile inimii, evolutia preturilor unui activ, distributiile unor serii de numere complet aleatoare – avand ca susra sisteme naturale s.a.). Atractorii ciudati care apar in teoria haosului, ca atractorul lui Lorentz dar si alti atractori respecta intr-un fel urmatoare regula: directia si traiectoria se schimba la anumite valori critice si apoi se dezvolta pe o directie oarecum stiuta.
Aceasta lege a octavei explica multe fenomene aparent haotice din natura. Ea explica de ce nu exista linii drepte in natura, de ce multe lucruri nu ies intocmai conform planului (fiindca directia de start se schimba pe masura evolutiei unui fenomen), dar mai ales explica un principiu general intalnit, acela al rezonantei.
Atunci cand vibratiile incetinesc, sub diferite efecte, sau pur si simplu natural, are loc o deviatie, directia originala ne mai fiind urmata.
Octava incepe in directia indicata de sageata:
Octava incepe in directia indicata de sageata:
Dar, are loc o deviatie intre Mi si Fa, linia inceputa de Do isi schimba directia, acelasi lucru se intampla si intre Si si Do.
Prin desenul de mai jos se evidentiaza schimbarea de directie. Astfel, fiecare trecere printr-un semiton reprezinta un nod in care lucrurile se schimba, deci implicit directia de start se schimba urmand firesc apoi o traiectorie cunoscuta. Traiectoria astfel obtinuta este cea a unui atractor.
Pe pagina urmatoare apare atractorul care se foremaza prin socurile, deviatiile vibratiei de baza. Apare si atractorul Lorentz o parte a sa.
Pe pagina urmatoare apare atractorul care se foremaza prin socurile, deviatiile vibratiei de baza. Apare si atractorul Lorentz o parte a sa.
Pentru a demonstra generalitatea acestei legi iata o poza cu inelele lui Saturn. Aceste inele ale lui Saturn sunt formate din praf si meteoriti de dimenisuni de la mici la medii. Se observa ca inelele nu sunt raspandite pe toata suita de raze posibile, apar la un moment dat niste goluri. Explicatia este foarte interesanta: pe traiectoriile de lungime exact multiplu si submultiplu al lungimii traiectoriei principalelor sateliti ai lui Saturn, Titan, Tethis sau Dione. Deci, in acele locuri se intra in rezonanta cu acesti sateliti, practic spatiul dintre inele reprezinta o vibratie la rezonanta (dar pe octave diferite) cu aceste corpuri ceresti ce isi exprima personalitate.
Problematica armonicelor
O alta problematica interesanta, pe care fractalii o descriu cu fiecare ocazie, este aparitia aromonicilor.
Oamenii au lucrat pentru prima data cu armonici tot in muzica. Practic vibratia unei corzi, lucru studiat inca de pe vremea grupului lui Pitagora, contine in ea insasi vibratia armonicilor de nivel mai inalt. Muzicienii, pot auzi aceste armonici, unii mai mult altii mai putin.
In industria calculatoarelor, tehnologia mp3, pur si simplu ‘taia’ informatia ce continea aceste armonici, aparent pastrand aceeasi calitate a sunetului pentru urechea umana, dar de fapt indepartand latura ei subtila.
Oamenii au lucrat pentru prima data cu armonici tot in muzica. Practic vibratia unei corzi, lucru studiat inca de pe vremea grupului lui Pitagora, contine in ea insasi vibratia armonicilor de nivel mai inalt. Muzicienii, pot auzi aceste armonici, unii mai mult altii mai putin.
In industria calculatoarelor, tehnologia mp3, pur si simplu ‘taia’ informatia ce continea aceste armonici, aparent pastrand aceeasi calitate a sunetului pentru urechea umana, dar de fapt indepartand latura ei subtila.
Acum, revenind la legea octavei: Prin modelul de mai sus am justificat acea lege a rezonantei. Dar de fapt fiecare vibratie contine in ea, prin insasi existenta ei vibratiile celelalte de nivel inalt, deci practic apare o alta proprietate a vibratiilor: aceea de a se diviza prin “vibratii interioare”.
Iata cum daca avem o vibratie de o unitate, celalte armonici sunt incluse in ea, cu frecvente multiplu de acea unitate, la fel pentru vibrtia de 2, 3 etc. Acest lucru este perfect fractalic, proprietatea de recurenta si scalare fiind insasi problematica rezonantei privita sub alt aspect:
Iata cum daca avem o vibratie de o unitate, celalte armonici sunt incluse in ea, cu frecvente multiplu de acea unitate, la fel pentru vibrtia de 2, 3 etc. Acest lucru este perfect fractalic, proprietatea de recurenta si scalare fiind insasi problematica rezonantei privita sub alt aspect:
1 --> 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ...
2 --> 4 6 8 10 12 14 16
3 --> 6 9 12 15
4 --> 8 12 16
5 --> 10 15
6 --> 12
7 --> 15
8 --> 16
...etc
2 --> 4 6 8 10 12 14 16
3 --> 6 9 12 15
4 --> 8 12 16
5 --> 10 15
6 --> 12
7 --> 15
8 --> 16
...etc
Iata cum armonica de oridinul 12 apare cel mai frecvent. Deci, practic, nu e o coinicidenta, ca in gama occidentala avem 8 note si 12 semitonuri. Insasi acele noduri intre Mi si Fa si Si si Do fiind neaparat necesare.
Dar, acum apare o problematica legata de energie. Pentru a putea ca aceste “vibratii interioare” sa prinda forma, vibratia principala trebuie sa le ofere din energia sa de baza, si, natural, cu cat o armonica este mai inalta cu atat ea primeste mai putina energie.
Desi energia primita pe masura ce armonica creste, scade cu o ratie aflta undeva intre:
si
apare o putere a numarului. Deci anumite armonici cu ar fi 12, 24 etc se formeaza din mai multe vibratii de baza. Nu intamplator poate pe 12 il intalnim foarte des in viata de zi cu zi (12 luni ale anului, 12 zodiace, 12 ore pe cadranul ceasului etc.).
Aceasta proprietate a numarului este foarte importanta in generarea anumitor fractali sau anumitor atractori. Voi demonstra in aplicatia mea, cum simplii coeficienti modifica subtil comportarea unor atractori.
Dar, acum apare o problematica legata de energie. Pentru a putea ca aceste “vibratii interioare” sa prinda forma, vibratia principala trebuie sa le ofere din energia sa de baza, si, natural, cu cat o armonica este mai inalta cu atat ea primeste mai putina energie.
Desi energia primita pe masura ce armonica creste, scade cu o ratie aflta undeva intre:
si
apare o putere a numarului. Deci anumite armonici cu ar fi 12, 24 etc se formeaza din mai multe vibratii de baza. Nu intamplator poate pe 12 il intalnim foarte des in viata de zi cu zi (12 luni ale anului, 12 zodiace, 12 ore pe cadranul ceasului etc.).
Aceasta proprietate a numarului este foarte importanta in generarea anumitor fractali sau anumitor atractori. Voi demonstra in aplicatia mea, cum simplii coeficienti modifica subtil comportarea unor atractori.
